Амплитудный и фазовый спектры пилообразного периодического сигнала  Функция сигнала   (см. рис.).    Частота основной гармоники  .

Сигналы такой формы используются в генераторах развертки осциллографов, телевизоров и др.  Коэффициенты Фурье тригонометрического ряда рассматриваемого сигнала.  Поскольку   x(t) = t  - нечетная  функция, то ряд Фурье содержит только синусоидальные гармоники: 

,ввиду нечетной симметрии сигнала коэффициенты a_k = 0.

 

 Ряд  Фурье  сигнала  -имеет только синусоидальные гармоники.

 

Коэффициенты ряда Фурье b_k  стремятся к нулю с увеличением номера  k  как 1/ k,  т.е. уменьшаются обратно пропорционально  k.

 Графики амплитудного и фазового спектра, т.е. модуля и аргумента  b_k  для  Т = 5  (основная  частота  1/T = 0,2 Гц).  По оси абсцисс – номера гармоник.  Частота  и номер гармоники связаны как .

Вид ряда Фурье  - синтез  сигнала при числе гармоник  N = 3 и   .

При увеличении N  ряд Фурье  все точнее  воспроизводит  (приближает) сигнал.

 Другие примеры – см. «Методические указания к решению задач и упражнений», с. 50 -70.

 

 

 

 

Сходимость ряда Фурье

            Для более подробного исследования  сходимости  рядов Фурье вновь  рассмотрим сигнал в виде прямоугольной периодической последовательности импульсов (прямоугольная  волна,   см. рис.)

 на интервале   .

Коэффициенты тригонометрического  ряда Фурье   

При этом  коэффициенты , т.к. сигнал четный     Коэффициенты   a_k:    

 

 

Усеченный  или конечный (с конечным числом членов N)  ряд Фурье   этого сигнала  

На рис. приведены примеры синтеза сигнала из гармоник (T=1, T₁=0,25)  для N = 3,  N = 9, N=25.   

 

 

Конечная сумма ряда Фурье  x_N(t) является приближенным выражением  сигнала. Рассмотрим характер приближенного представления. Из рис. видно, что при увеличении количества членов  N  (гармоник сигнала) ряд Фурье сходится  к сигналу – прямоугольной волне.

Особенностью сходимости  конечного ряда Фурье является среднеквадратический характер сходимости.

Среднеквадратическая сходимость  означает, что  среднеквадратичное уклонение между сигналом  x(t)  и его приближением  x_N(t)стремится к нулю  квадрат при увеличении числа членов ряда N  .  Т.е.    

 Графически

 При увеличении  числа членов ряда N  стремится к нулю именно квадрат разности между сигналом  x(t ) и его конечным рядом Фурье   ,

 но в отдельных точках аргумента разность достигает 9%.  При этом согласно теореме Дирихле  ряд Фурье сходится к функции (сигналу)  в точках непрерывности и к среднему арифметическому двух граничных значений в точках разрыва.

 

Особенностью сходимости  конечного ряда Фурье к сигналу  с конечными разрывами является наличие пульсаций, которые не изменяются по амплитуде, но становятся чаще  при увеличении числа членов ряда.  При этом амплитуда пульсаций ( от максимума)  не изменяется при увеличении  N.  Возрастает только число пульсаций, т.е. пульсации становятся более частыми  (см. рис. выше).

Эта особенность сходимости носит название явления Гиббса в честь американского математика  Д. В. Гиббса    (1839 – 1903 г.г.), первым исследовавшего это явление. Оно присутствует в спектральном анализе всегда, когда речь идет о приближении рядом Фурье функций  с  конечными разрывами.

    Демонстрация анализа и синтеза сигналов:     Tos_Demo/periodic

Распределение мощности в спектре периодического сигнала (теорема Парсеваля)

 

Парсеваль М.А.  – французский  математик (1755 – 1836 г.г.).

Для периодического сигнала средняя мощность за период равна

.

Заменим в интеграле сигнал x(t) его разложением в тригонометрический  ряд Фурье, тогда

   .

 

 

 

Вычислим отдельные интегралы этого выражения  

Более подробно вычислим  самый сложный из этих интегралов

 

Найдем  первый из этих интегралов

 

Аналогично второй интеграл также  равен нулю

 

.

Следовательно, средняя мощность за период  на сопртивлении 1 Ом

 

равна средней мощности, выделяемой постоянной составляющей и гармониками сигнала    ().   

Она зависит только от амплитуд гармоник  А_к  (включая А₀)  и не зависит от начальных фаз гармоник θ_к,  т.е. от фазового спектра сигнала. Этот результат называется  теоремой  Парсеваля для периодического сигнала.

Из неё следует, что мощность сигнала  зависит от амплитуд гармоник квадратично. Если амплитуда какой-то гармоники в 10 раз меньше амплитуды другой, то её вклад в мощность сигнала в 100 раз меньше.

В частности,  для прямоугольной периодической волны с периодом 10 с и длительностью импульса 4 с постоянная составляющая и первые 5 гармоник ряда Фурье  содержат 95% средней мощности сигнала.

Диапазон частот, в котором содержится основная часть средней мощности  P_ср, называется шириной полосы частот (bandwidth) B сигнала. 

В частности, для телефонной связи  полоса частот составляет  300-3400 Гц. Составляющие речевого сигнала с более высокими частотами не имеют существенного значения  и не используются для передачи речи.

 Полоса частот телевизионного видеосигнала составляет  МГц,  т.е. примерно  в 2000 раз  шире полосы телефонного канала.

Эти частные, но очень важные результаты следуют из спектрального подхода к анализу соответствующих сигналов.

 

 

 

Отклик линейной непрерывной системы на входной сигнал
в виде ряда Фурье

           

В лекции №3  рассмотрен вопрос о собственных функциях линейной системы.   Таковыми являются, в частности, комплексные экспоненты      .

 

При этом выходной сигнал при входном  можно представить в виде свертки

,

где  h(t) – импульсная  характеристика,  - частотная характеристика системы. Видно, что собственные функции  не изменяют форму при передаче  через систему – меняется только амплитуда и фаза гармоники.

Пусть теперь входной периодический сигнал  x(t)  представлен рядом Фурье

 - сумма гармоник

 

Выше показано, что реакция (выходной сигнал) системы на отдельную гармонику  имеет вид 

.

В соответствии с принципом суперпозиции  линейных систем для    

выходной сигнал

,

т.е. представляет собой также ряд Фурье с коэффициентами  , где

  –   частотная характеристика системы.  

Полученный результат позволяет вычислять выходной сигнал для произвольного входного периодического сигнала путем разложения его в ряд Фурье и умножения на  частотную характеристику системы. В практических задачах используется конечный ряд Фурье.

 Из проведенного  рассмотрения  следует также, что линейные системы не могут создавать новых гармоник на выходе, они могут только изменять амплитуды и фазы гармоник входного сигнала. Это свойство линейных систем называется «свойством фильтрации».  Благодаря этому  на основе линейных систем можно создавать самые разнообразные фильтры: фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые фильтры и др.

 

Пример.   Рассмотрим фильтр  нижних частот  (ФНЧ)  и фильтр верхних частот (ФВЧ).  Вид    амплитудно  - частотных характеристик  (АЧХ)  таких фильтров

 

Пусть на входы ФНЧ и ФВЧ подается сигнал, состоящий из суммы низкочастотного и высокочастотного колебаний. 

ФНЧ пропускает на выход низкочастотную составляющую,  ФВЧ, наоборот, только высокочастотную составляющую входа. Происходит фильтрация.

 

Фильтры – это  наиболее распространенные устройства

в системах обработки сигналов.

 

Дискретно – временной ряд Фурье (ДВРФ)

Дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) – разложение в  ряд Фурье сигнала дискретного аргумента  . Это вычислительная разновидность классического ряда Фурье для дискретной по аргументу функции (последовательности).

Пусть x[n] – периодический дискретный по времени сигнал с периодом N, т.е.

.   Пример  для  N =  8

Согласно общей теории рядов Фурье для периодической с периодом N последовательности x[n]  комплексный ряд может быть записан в виде суммы гармоник   .

.

Здесь c_k – коэффициенты дискретно – временного  ряда, определяемые выражением

.

Первое из этих выражений и есть дискретно временной ряд Фурье (ДВРФ). Его называют также выражением (уравнением) синтеза сигнала – получение   сигнала по его  гармоникам.   Второе выражение для коэффициентов с_k  называют  соответственно уравнением анализа сигнала. Оно  позволяет определить амплитуды и фазы  гармонических составляющих дискретного по времени сигнала, т.е. разложить сигнал на гармоники.

 

Дискретная комплексная гармоника      

является периодической с периодом  N.   Действительно,

Следовательно,  имеется только N различных значений этой функции для k от 0 до N-1

.

Поэтому

,

т.е. коэффициенты ДВРФ c_k – тоже периодические последовательности с периодом  N. Только N коэффициентов – разные. Далее значения периодически повторяются и не имеет смысла их вычислять. В этом одно из главных отличий ДВРФ от классического ряда Фурье.  

Поэтому число членов в ДВРФ - конечное и равно N.

Эта особенность (периодичность) в явной форме проявляется при использовании функции  fft()  Matlab для  вычисления  спектров  периодических сигналов.

 Коэффициенты ряда Фурье периодического дискретного по времени  сигнала равны  fft(N)/N, где N – размер (длина) вектора fft().  Функция fft()  - периодическая с периодом N.

 

Пример.  Частотный спектр дискретной прямоугольной волны единичной амплитуды

Коэффициенты Фурье  

,        

 

В выражении для c_k  в заключение использовалась формула суммы конечной геометрической прогрессии                для     .

На рис. представлен амплитудный спектр прямоугольной дискретной волны для     N = 30  и  N₁ = 10. Спектр  –  периодический  с периодом  N = 30.

Для сравнения ниже приведен амплитудный спектр прямоугольной непрерывной волны  с соответствующим периодом   Т = 30,  длительностью Т₁ = 10.

 

 

 

 

В отличие от ДВРФ, спектр непрерывного периодического сигнала  – апериодический.

Заключение

• Разложение  сигнала в ряд Фурье  - это представление его в виде суммы действительных или  комплексных гармоник. Гармоники – собственные функции линейных систем.
• Характер сходимости   конечного ряда Фурье  x_N(t)  к функции сигнала x(t)   является среднеквадратическим, т.е.
  
• Особенностью сходимости  конечного ряда Фурье к сигналу  с конечными разрывами является наличие пульсаций (явление Гиббса) в сумме ряда.
• Теорема Парсеваля  для периодического сигнала
  
  позволяет производить вычисление средней за период мощности сигнала в  частотной области (по мощности гармоник сигнала).
•  Для дискретного по времени сигнала  вида x[n] или x(nT_S) используется  дискретно- временной ряд Фурье (ДВРФ) в виде

, где

Это дискретная  (численная) версия классического ряда Фурье. ДВРФ – периодический с периодом N.