Постановка задачи анализа линейной системы

            Задача анализа системы обработки сигналов заключается в определении её выходного сигнала для заданного входного сигнала.

 

Линейные непрерывные стационарные системы (ЛНС) полностью описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

Это уравнения связи выходного y(t)  и входного x(t) сигнала в дифференциальной форме.

Соответственно линейные дискретные стационарные системы (ЛДС) - обыкновенными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами

.

При известных уравнениях задача анализа полностью решается путем решения уравнения системы, но это сложный и громоздкий путь, особенно для систем высокого порядка.  В большинстве практических задач анализ системы выполняется с использованием её динамических характеристик, каковыми являются

• Импульсная характеристика системы во временной области,
• Частотная характеристика в частотной области,
• Передаточная функция в комплексной области.

В курсе ТОС подробно рассматриваются эти характеристики и основанные на их использовании методы анализа линейных непрерывных и дискретных систем.

Импульсная характеристика линейной системы

            Импульсная характеристика (ИХ, англ. impulse response, импульсный отклик)  является важнейшей характеристикой линейных систем во временной области.  Для систем непрерывного времени  - это реакция (выходной сигнал) системы на входной сигнал в виде дельта – функции  δ(t) при нулевых начальных условиях.  Будем обозначать её как  h(t) – отклик (выход) системы в момент t на входной сигнал в виде δ – функции. Нулевые начальные условия означает:   выходной сигнал y(t) и все его производные в момент t = 0  имеют нулевые значения.

 

Экспериментальное  определение  ИХ заключается в определении отклика системы на достаточно узкий входной импульс  x(t) единичной площади.  При этом определяется приближенная импульсная характеристика.

            Для нестационарных линейных систем импульсная характеристика  зависит от момента  воздействия  дельта – функции  τ  ко входу системы, т.е.  в этом случае она является функцией двух переменных,  h(t, τ) -  выход системы в момент t на   δ – функцию , приложенную  ко входу в момент τ.

Если линейная непрерывная система является стационарной (ЛНСС), или иначе  инвариантной во времени (англ. linear time invariant system – LTI system), то её импульсная характеристика  h(t) не зависит от сдвига во времени, т.е. является только функцией   t.

Импульсной характеристикой  линейной дискретной стационарной системы (ЛДСС) называется её реакция на входной сигнал в виде единичного импульса   δ[n]   при нулевых начальных условиях. Будем обозначать её  через h[n].

 

Связь выходного и входного сигналов линейной дискретной системы
 во временной области (дискретная свертка)

Для линейной дискретной системы (ЛДС) в силу принципа суперпозиции

.

Входной сигнал представляется в виде линейной комбинации   функций x_k[n]. Реакция системы на базисную функцию есть . Выходной сигнал системы – линейная комбинация вида  .

            Рассмотрим линейную дискретную систему (ЛДС)

Импульсная характеристика ЛДС     h[n] – это её реакция на входной сигнал в виде единичного импульса,
т.е.  если    то  .

Для стационарной, т.е. инвариантной  во времени ЛДС сдвиг во времени входного сигнала  вызывает такой же сдвиг во времени выходного сигнала, т.е.

.

Представим входной сигнал x[n] в виде линейной комбинации единичных импульсов

 

 

            В силу принципа суперпозиции для  ЛДС

Полученный результат называют выражением  дискретной свертки. Символ   обозначает оператор дискретной свертки. Это наиболее общее выражение дискретной свертки.

Для физически осуществимых (каузальных) сигналов и систем  и импульсная  характеристика   для  n< 0. Следовательно,   при   k > n.

Поэтому для реальных (каузальных) систем уравнение свертки имеет  вид

Согласно выражению  вычисление дискретной свертки   для определенного значения  аргумента n заключается в зеркальном повороте  h[k] относительно оси ординат, т.е. получении  h[-k],   сдвиге h[-k]  на n отсчетов (тактов) для получения  h[n-k] , перемножении  для всех значений k от 0  до n и их суммировании.  Для другого значения  n  эти операции повторяются.

 

Связь выходного и входного сигналов линейной непрерывной  системы
 во временной области   (непрерывная  свертка)

Для линейной непрерывной стационарной  системы ,   .

Входной сигнал  линейной непрерывной системы можно представить в виде интеграла     .  Возможность  такого представления следует из определения    δ – функции:   .

Запишем выходной сигнал как оператор над входным сигналом.  С учетом принципа суперпозиции линейных систем  получим

.

Для стационарных (инвариантных во времени) линейных систем (ЛНСС)

 - есть смещенная  импульсная характеристика системы.   

Следовательно,

.

Это основное выражение анализа ЛНСС  (ЛНС) во временной области, которое называют непрерывной сверткой или интегралом наложения (свертки).

Знак (символ )  * здесь обозначает  операцию непрерывной свертки. 

 Графическое содержание операции: аналогично дискретной свертке

 

Собственные  функции  линейных систем

            Справка из линейной алгебры.

Если при   преобразовании  вектора X в вектор Y с помощью матрицы А выполняется  условие

Y = AX = λ X,

то  вектор X является собственным вектором матрицы А, а число  λ – её собственным значением. В результате такого линейного преобразования вектор X преобразовывается  с помощью матрицы  А  в параллельный ему вектор Y.  

            Аналогичные соотношения имеются для линейных  систем.

            Для линейных непрерывных систем собственная функция  – это сигнал, который не изменяет свою форму при прохождении через систему

 

Если  входной сигнал   - собственная функция системы, то её выходной сигнал равен , где     - константа (собственное значение) системы.

 

Тогда в соответствии с принципом суперпозиции линейных систем

 

            Собственными функциями ЛНС являются комплексные экспоненты непрерывного времени.  Действительно,  пусть входной сигнал такой системы

-  гармоника.

При этом выходной сигнал определяется с помощью интеграла свертки

.

Здесь 

                   - передаточная функция системы, являющаяся функцией  s, но для определенного  значения  s - числом  (её собственным значением),

                   - собственная функция линейной системы непрерывного времени.

Собственной функцией линейной системы является также  комплексная гармоника

, получающаяся из  при  .

 Поскольку по формуле Эйлера          ,

то, значит, реальные гармоники  также не изменяют своей формы при прохождении через систему.

Для линейных систем дискретного времени (ЛДС)  собственные функции – это сигналы вида  ,  где - комплексная  переменная.  Из выражения дискретной свертки получаем

,

где   - передаточная функция ЛДС  (собственное значение ЛДС),  являющаяся так называемым z-преобразованием импульсной характеристики системы h[n].

 

 

 

 

 

             Дискретные комплексные гармоники как частный случай   также являются собственными функциями ЛДС, поскольку   для такого сигнала выход

.

Здесь   -  частотная характеристика ЛДС (функция  частоты ω), являющаяся для определенного значения  ω  собственным значением (числом)  ЛДС.

 

Заключение

 

• Импульсная характеристика (англ. impulse response) является важнейшей  (основной)  характеристикой линейных систем во временной области.  Обозначение:    h(t) для ЛНС и  h[n]  для ЛДС.
• Связь выходного и входного сигналов ЛДС определяется  выражением дискретной свертки
  .
• Для  ЛНС
  .
• Собственные функции линейных систем – это сигналы, не изменяющие своей формы при прохождении через систему.  Поэтому они играют важнейшую роль в анализе систем.
  Собственными функциями ЛНС являются  комплексные гармоники  вида
                                          ,
  а для  ЛДС -  дискретные комплексные гармоники
                                         .