Преобразование  Лапласа      (P.Laplace, фр. ученый, 1749-1827 г.г.)   

Это интегральное преобразование, которое используется:

·               для  решения дифференциальных  уравнений,

·               для анализа линейных  непрерывных систем и электрических цепей,

·               для анализа и синтеза систем  автоматического управления и в других областях.

Определение двустороннего преобразования  Лапласа (double sided or  bilateral Laplace Transformation)

,

здесь - комплексная частотная переменная

 (т.н. комплексная частота, как обобщение физической частоты).

Пример.  Пусть ,    действительное  .

       Преобразование Фурье – это специальный случай двустороннего преобразования Лапласа, когда  , т.е. рассматривается (вычисляется) только   на мнимой оси комплексной плоскости  

Отсюда следует, что преобразование Фурье  от

.

 

Одностороннее преобразование Лапласа (one sided  or  unilateral Laplace Transformation)

.

Обычно реальный  сигнал (процесс) начинается в определенный  момент времени, который можно принять за начало отсчета. Затем сигнал существует  в течение какого-то  промежутка времени. Иначе говоря, реальные сигналы и системы  – каузальные. Поэтому  на практике чаще используется одностороннее преобразование Лапласа.

 В дальнейшем в этой части курса рассматривается только одностороннее преобразование Лапласа, хотя более общий случай – это двустороннее преобразование.     Нотация:      ,    x(t) -  функция – оригинал,  X(s) – функция – изображение.

Преобразование Лапласа имеет смысл только для тех значений  s, где интеграл сходится. Если  , т.е. функция  x(t) возрастает не быстрее  экспоненты с показателем  a,    то преобразование  Лапласа  сходится  для Re(s)> a. Область плоскости s = σ +jω,  где преобразование Лапласа сходится, называется областью сходимости (ОС).

Пример 1.

Пример 2.  ,

 

 

Пример 3.  , 

Заметим, что преобразование Фурье для единичной ступенчатой функции u(t) не существует, так как эта функция не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости .   Преобразование  Лапласа сходится из-за множителя   :        - модуль  убывает при увеличении t.

Пример  4. 

 .      Аналогично   .

Пример 5.  .

В специальной литературе существует большое количество справочных таблиц для различных функций – оригиналов и их изображений. Эти таблицы используются для нахождения прямого и обратного преобразований Лапласа.  См., например,  «Таблицы преобразований Лапласа»  в учебно – справочных  материалах по курсу.

В Matlab имеется  функция laplace() для символьных (аналитических) вычислений преобразования Лапласа.  Пример:

>> syms a   t  >> laplace(exp(-a*t))      Результат      ans = 1/(s+a).

 

Свойства  преобразования Лапласа

            Преобразование Лапласа имеет свойства, аналогичные преобразованию Фурье. Ниже они приведены без доказательства. Сами доказательства аналогичны проведенным  ранее в курсе доказательствам  свойств  преобразования Фурье (НВПФ)

1.Свойство линейности.  Если , то .

2.Свойство временного сдвига.   Если  , то   .

3.Свойство сдвига в s – плоскости. Если , то .

4.Свойство временного масштабирования. Если , то .

5.            Свойство свертки.  Если , то  . Свертке функций соответствует произведение их изображений.

6.Свойство дифференцирования во временной области.
Если , то .   Обобщение свойства
.

Благодаря этому свойству дифференциальное уравнение может быть преобразовано  в алгебраическое уравнение. Далее находится решение алгебраического уравнения и выполняется обратное преобразование Лапласа.

 

7. Свойство дифференцирования в частотной области.
   Если , то   .
8. Свойство интегрирования во временной области.
   Если , то  .
9. Теорема о начальном значении          .

10.   Теорема о конечном значении   
Рассмотренные  свойства очень часто используются в различных практических задачах, связанных  с использованием преобразования Лапласа.

 

Обратное  преобразование  Лапласа

Обратное преобразование Лапласа позволяет найти функцию – оригинал x(t) по изображению X(s). Общее выражение обратного преобразования Лапласа

представляет собой контурный интеграл в комплексной s – плоскости. В большинстве случаев его вычисление - достаточно  сложная задача с использованием теоремы о вычетах. На практике для перехода во временную область широко используются таблицы преобразования Лапласа и вычисления с использованием разложения  дробно - рационального выражения X(s)   на простейшие дроби  (см. файл «Разложение дробно - рациональной функции на простейшие дроби» в справочно – информационных материалах по курсу).

Пример.   Пусть  сигнал в виде преобразования Лапласа имеет вид

 Найдем вид сигнала во временной области с помощью разложения на простейшие дроби.  Разложение применяется для правильных дробей.

Y(s) является неправильной рациональной дробью, поэтому представим Y(s) виде целой части и правильной дроби

. 

С помощью таблиц преобразования Лапласа находим

  и     . 

 Поэтому     

В Matlab  для символьного вычисления обратного преобразования Лапласа служит функция   ilaplace().

Передаточная  функция линейной непрерывной  

стационарной системы

Предварительно докажем свойство дифференцирования преобразования Лапласа.

Если .    

Доказательство: применим интегрирование по частям:

.

 ,  и  поэтому .

Для нулевых начальных условий  (н.н.у.)   x(0)=0, поэтому   L{x’(t)}=sX(s).    

  Аналогично рассуждая, получим  .

  Для н.н.у.   , отсюда  оператор дифференцирования  .

Передаточная функция (ПФ transfer function) линейной непрерывной стационарной системы –  это отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигналов системы при нулевых начальных условиях, т.е.  ,

Другое название ПФ  – системная функция (system function).

Уравнение ЛНСС             .

 

Возьмем преобразование Лапласа от левой и правой частей уравнения при нулевых начальных условиях (н.н.у). 

 С учетом свойства дифференцирования,  свойства линейности  и н.н.у.  получаем .       Отсюда ПФ

- отношение двух полиномов от комплексной переменной .

Связь выхода и входа системы в области комплексной переменной s

.

Т.е., преобразование Лапласа выходного сигнала равно преобразованию Лапласа входного сигнала, умноженному на передаточную функцию системы. Это основное уравнение анализа систем в комплексной плоскости  s.

Переход во временную область, т.е. вычисление  y(t)   осуществляется с помощью обратного преобразования  Лапласа    .

Пусть входной сигнал  - дельта-функция. Тогда  и .  Входному сигналу в виде дельта – функции  соответствует отклик в виде импульсной характеристики (ИХ) системы .

Поскольку , то при  

Следовательно, связь ИХ и ПФ системы     ,

 т.е. ИХ и ПФ системы связаны преобразованием Лапласа.

 

Если  положить  , тогда  ,

т.е. значения передаточной функции на мнимой оси jω комплексной плоскости  s дают значения частотной характеристики системы. Другими словами, ЧХ  может рассматриваться как частный случай передаточной функции на мнимой оси плоскости s.

Поэтому частотную характеристику нередко называют также передаточной функцией

Пример.  Вновь обратимся к рассмотренному ранее активному ФНЧ

 

Для значений параметров  R₁ = 5000 Ом,  R₂ = 10⁴ Ом,  C = 10 мкФ

Уравнение вход – выход фильтра . Поэтому его передаточная функция:

 

 

 

Полюса и нули передаточной функции

            Передаточная функция ЛНСС имеет вид рациональной функции, т.е. отношения двух полиномов  от s. В соответствии с теоремой о разложении многочлена каждый многочлен степени n может быть единственным образом представлен (факторизован) в виде произведения постоянной и n линейных множителей

,

где s_k – корни многочлена,  корню  s_k  кратности m_k соответствует  m_k  множителей  (s -s_k ).

При этом для многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни обязательно встречаются только как комплексно - сопряженные пары. Иначе соответствующие коэффициенты многочлена  не будут действительными.  Каждая такая пара множителей  перемножением может быть представлена как действительный квадратичный множитель .
Таким образом, рациональная передаточная функция системы с действительными коэффициентами может быть представлена в виде (факторизованная форма ПФ):

.

Здесь  - корни многочлена – числителя, они  называются нулями  H(s),

 - корни многочлена – знаменателя называются полюсами  H(s), - усиление системы (gain).  При этом каждая пара множителей с  комплексно-сопряженными корнями можем быть объединена в один квадратичный член.

В точке нуля ,   в точке полюса   .

 

 

 

Пример.  Система второго порядка с передаточной функцией   .  Нули и полюса системы: 

График передаточной функции такой системы.

 Код:        >> [x,y]=meshgrid(-2:0.05:1, -2:0.05:2);  s=x+y*j;

       >> H=(s+0)./((s+1).^2+1); surf(x,y,abs(H))

 

 

 

 

 

 

 

Из факторизованного выражения H(s) следует, что нули и полюса однозначно определяют передаточную функцию, а значит и саму систему с точностью до константы  k - усиления системы.  Следовательно, положение полюсов и нулей ПФ  полностью определяет поведение  передаточной функции и частотной характеристики системы, т.е. её динамические свойства. Поэтому добавление/удаление  полюсов и нулей, выбор их положения  широко используются в практике анализа и синтеза систем, чтобы получить систему с нужными свойствами.

В  Matlab функция tf2zp(n,d) вычисляет нули, полюса и усиление системы по её системной функции H(s), а функция   zp2tf(z,p,k), наоборот,  преобразует полюсно – нулевое описание в передаточную функцию системы H(s).

Обычно полюса и нули для наглядности отображаются в виде точек на комплексной плоскости. Например, диаграмма полюсов и нулей для передаточной функции

 

 

В Matlab для построения графика нулей и полюсов служит функция pzmap(n,d). Для того же примера n=[1 1];  d=[1 0 -2 4]; pzmap(n,d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление ПФ по расположению нулей и полюсов  в Matlab

>> z  = -1;    p=[-2  1+j  1-j];    k =1;       [num,den]=zp2tf(z,p,k)  

num =   0     0     1     1

den =    1     0    -2     4     Поэтому 

 

Если ,   то  факторизованная ПФ  системы дает её частотную характеристику в виде       .

Следовательно,   АЧХ    - произведение/частное  членов  вида .   Фазо - частотная характеристика     равна сумме углов нулей системы минус сумма углов полюсов.   Углы отсчитываются от действительной  оси плоскости  s.

 

Каскадная форма представления передаточной функции

Уже отмечалось, что любой полином с действительными коэффициентами  может  быть представлен как произведение полинома  первого порядка с действительными коэффициентами и полиномов второй степени (квадратных) с действительными коэффициентами.

Пример. Пусть . Этот многочлен имеет корни

,   Следовательно, факторизованное представление   многочлена    .      

ЛНСС описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами  .   Её  передаточная функция                  

 - это  отношение полиномов.

Или в факторизованной  форме

z₁, z_2,… z_m – нули,    p₁, p_2,,,, p_n  -  полюса передаточной функции,

Произведение , где  - комплексно - сопряженные корни,   можно записать  в виде многочлена 2-го порядка с действительными коэффициентами              .

 

Поэтому  передаточную функцию любой  реальной  системы можно представить в виде каскадного (последовательного) соединения систем второго и/или первого порядка с вещественными коэффициентами, т.е. в виде ,

где   H_i(s) – передаточная функция  системы второго или первого порядка

.  

Для системы первого порядка .

Графическое представление:

 

 

 

 

В MATLAB  такой вид передаточной функции называют  SOS –формой.

Функция  sos = zp2sos(z,p,k) преобразовывает  описание линейной системы, заданной нулями, полюсами и коэффициентом усиления, в передаточную функцию в каскадной форме.

Вид каскадного представления: возвращается матрица, имеющая  L строк и 6 столбцов,

  

содержащая коэффициенты  отдельных каскадов каскадной формы передаточной функции.

 

 

 

 

Заключение

1.            Одностороннее преобразование Лапласа – это интегральное преобразование вида
                                                           .
Оно трансформирует функцию – оригинал  x(t)  аргумента  t  в функцию – изображение  X(s) комплексной переменной  ,  нотация   .
Преобразование Лапласа имеет свойства, аналогичные свойствам преобразования Фурье.

2.            С помощью преобразования Лапласа  обыкновенное линейное дифференциальное уравнение может быть преобразовано в алгебраическое уравнение. Дальнейший анализ системы будет заключаться в исследовании решений алгебраического уравнения, что удобнее и проще

3.            Передаточная функция ЛНСС представляет собой отношение преобразований  Лапласа выходного и входного сигналов системы при нулевых начальных условиях:
                 .

4.            Полюса системы p₁,p₂,…p_n – это корни многочлена – знаменателя, нули z₁,z₂,…z_m- корни многочлена – числителя передаточной функции.  Выбор и изменение положения нулей и полюсов широко используется для изменения свойств и поведения системы.

5.            Передаточная функция связана с импульсной характеристикой системы преобразованием   Лапласа.

6.            Частотная характеристика системы может  быть получена из её передаточной функции , если положить .