Частотная  характеристика   системы

            Для  ЛНСС

уравнение выход – вход  во временной области .

Основное неудобство использования свертки – сложности вычисления  самого интеграла и интерпретация результата. Анализ систем упрощается использованием  их частотных характеристик.  В лекции № 3 было показано, что собственными функциями ЛНСС являются комплексные гармоники. Это означает, что если на вход системы подается  , то выходом  системы будет комплексная гармоника той же частоты, масштабированная функцией  H(jω):

.

При этом  функция  

 -   это частотная характеристика (ЧХ,  frequency response) системы.  Её называют также амплитудно – фазовой  частотной характеристикой  (АФЧХ),  комплексным коэффициентом передачи и нередко передаточной функцией, хотя в последнем случае это не совсем точно.   ЧХ представляет собой преобразование Фурье импульсной характеристики (ИХ) системы, т.е.    . Возможно использование частоты  f  в Гц вместо угловой частоты ω. При этом выражение частотной характеристики  приобретает вид 

                                              

      

 

В данном курсе  используется, главным образом, угловая частота ω. Так удобнее для упрощения записи теоретических выражений.  В экспериментальной практике, наоборот, обычно применяют  частоту в  Гц, т.е. f.

По свойству свертки преобразования Фурье (НВПФ)

,

т.е. свертке во временной области соответствует произведение  в частотной.

Здесь    - спектр (преобразование Фурье) входного сигнала,  H(jω) – частотная характеристика   системы.

Уравнение   - основное уравнение анализа линейных систем в частотной области. Физический смысл уравнения:  комплексный спектр выхода равен спектру входа, умноженному на  ЧХ системы

Перемножение в частотной области вместо интеграла свертки во временной области резко упрощает задачу анализа линейных систем.

Переход от  спектра Y(jω)  во временную область может быть осуществлен с помощью обратного преобразования Фурье

.

 

Аналитические вычисления обратного преобразования Фурье  разрешимы  только для простых или специальных случаев.  В MATLAB для этого  может использоваться функция ifouirier(). Для численных вычислений, т.е. в большинстве практических задач, применяется функция ifft(). Ранее в курсе это уже  рассматривалось, в частности, в лабораторных работах  № 4 и № 5.

Найдем  частотную характеристику системы с дифференциальным уравнением 

.

Используем  для этого  свойство дифференцирования НВПФ.  Если ,

то   .  Действительно,  .   Тогда

.   Отсюда

. Продолжая этот процесс, получаем 

Применим это свойство к обеим частям дифференциального уравнения и получим

.

Отсюда ЧХ системы

.

 

Амплитудно - частотная   (АЧХ) и фазо -частотная  (ФЧХ) характеристики

 

Частотная характеристика     представляет собой комплексную функцию действительной переменной – частоты  ω.  Она  может быть  записана  в виде модуля и аргумента

                                                           .

Модуль  - это  амплитудно – частотная характеристика (magnitude response) или АЧХ системы. АЧХ  означает зависимость модуля ЧХ  системы от частоты.

Аргумент  -  фазо- частотная характеристика (phase response), ФЧХ системы или просто фазовая характеристика  системы.

Из выражения анализа системы в частотной области  следует

,

т.е.  модуль  каждой частотной составляющей выхода равен модулю  входа, умноженному  на значение АЧХ системы на рассматриваемой частоте ω.

 Фаза частотной составляющей  выхода

сдвинута относительно фазы входа   на значение ФЧХ системы на данной частоте .

 

Ранее при рассмотрении свойств преобразования Фурье (НВПФ)  было показано, что для действительной функции модуль преобразования Фурье – четная функция, аргумент - нечетная функция  частоты ω.  Поэтому АЧХ реальной системы с действительной  импульсной характеристикой  h(t) – четная функция  ω, ФЧХ – нечетная функция частоты, т.е.

.

В связи с этим  на графиках  часто  изображают  АЧХ и ФЧХ только для положительных значений частот.

 

 

 

Частотная характеристика  системы  первого порядка

Частотная характеристика  системы первого порядка с уравнением

  имеет вид  .  В качестве примера подобной системы рассмотрим  RC - цепь.   Уравнение цепи   ,

т.е. при сравнении с общим выражением системы первого порядка

Частотная характеристика цепи   .

Её можно найти также как преобразование Фурье импульсной характеристики цепи

 ,  а именно  

.

 

 

В общем случае  АЧХ   ,   ФЧХ 

Графики АЧХ и ФЧХ для 
а) R = 10 кОм,  C =  10 мкФ       б)  R = 5 кОм,   C =  10 мкФ 

Это фильтр первого порядка.  АЧХ имеет вид характеристики фильтра нижних частот (ФНЧ): на низких частотах  АЧХ больше, чем на высоких.  АЧХ имеет четную симметрию, ФЧХ – нечетную симметрию. С увеличением  τ =RC  спад АЧХ возрастает, т.е. система  в большей степени ослабляет высокие частоты. ФЧХ при .

Полоса пропускания (ПП) системы – это интервал частот, в котором значение АЧХ отличается от максимального значения не более, чем на заданную величину. Обычно (но не всегда!)  спад  принимается  равным  1/√2 или  (-3 дБ) от максимума.

 

Граничная частота полосы пропускания  (частота среза) по уровню -3дБ для такого RC- фильтра определяется из условия  или , отсюда . На частоте ω_С   , т.е. фаза выхода отстает от фазы входа на  45°.

В примере  а)  ПП  составляет 0..1,6 Гц,  в примере  б)  ПП   0..3,18 Гц.

Переставим местами емкость и резистор, получим цепь  CR- фильтра верхних частот

Частотная характеристика   .

АЧХ    ,

ФЧХ   

В частности, если , то и , т.е. такая цепь является дифференцирующей

 

 

Графики АЧХ и ФЧХ  для а) RC = τ = 0,1    б)  RC = τ = 0,05

Данная цепь является  простым (1-й порядок) фильтром верхних частот (ФВЧ), поскольку высокие частоты пропускаются цепью лучше, чем низкие.

Граничная частота полосы пропускания фильтра по уровню (-3дБ) определяется, как и раньше, из условия  .         Отсюда

.    На частоте  ω_С   , т.е. выходной сигнал опережает по фазе входной сигнал на  45°.

 

Частотная характеристика системы второго порядка

Общий  вид дифференциального уравнения системы второго порядка

.

Частотная характеристика такой системы    .    

Для дальнейшего рассмотрения  положим  . При этом

     (*). 

Обозначим    - это коэффициент усиления

на постоянном токе (ω = 0),

 - собственная частота системы,

 - коэффициент затухания системы,

- добротность системы

При этих обозначениях  частотную характеристику (*) можно записать в виде

   _{.  В таком виде ЧХ часто  используется на практике.}       

                   

Пример: активный  фильтр второго порядка Частотная характеристика

 

 

 

_{Сопоставление с выражением (*) :}    

На графике показаны АЧХ системы второго порядка для  значений параметров

Видно, что для малых значений коэффициента затухания  или больших значений добротности Q  () система второго порядка  обладает резонансными свойствами с максимальным значением  АЧХ на частоте  .  При этом ширина полосы  пропускания по уровню        (-3 дБ)    . Для случая а)  .

а)   , Q =5 б)   ,  Q = 1

 

Из графического представления АЧХ рассматриваемой системы второго порядка становится очевидным смысл таких параметров, как  .

 

 

 

                Логарифмические  частотные характеристики

   Для линейной системы с частотной характеристикой

следовательно  .

Отсюда ,   здесь   - логарифмическая   АЧХ  (ЛАЧХ).  Удобством и в этом смысле преимуществом  ЛАЧХ является более простое вычисление ЛАЧХ последовательного (каскадного) соединения систем

. Отсюда        

   

 

 

При использовании ЛАЧХ и АЧХ и ФЧХ последовательно соединенных систем просто складываются.  По историческим причинам для ЛАЧХ в качестве единиц обычно  используются децибелы (дБ), т.е.  вычисляется  .   При изображении графиков по оси частот откладывается логарифм частоты . Отношение частот, равное 10, называют декадой, отношение, равное 2, - октавой. Логарифмический масштаб позволяет представлять графики в более широком диапазоне переменных.

Графики  зависимостей  и  от называются диаграммами Боде. В MATLAB для построения диаграммы Боде служит функция

bode(num, den), параметрами которой являются коэффициенты полиномов числителя  num и знаменателя  den передаточной функции системы.

Например, для рассмотренной выше системы второго порядка с  ЧХ

 и параметрами  , при которых

. Здесь:       num=100;  den=[1, 2, 100];  bode(num, den)

Для сравнения обычный график  АЧХ

 

К определению децибела:

 

Заключение

 

• Частотная  характеристика (ЧХ) представляет собой основной инструмент анализа поведения системы в частотной области.
• Частотная и импульсная характеристики ЛНСС связаны преобразованием Фурье.
• Амплитудно – частотная характеристика (АЧХ)  характеризует изменение амплитуды гармоники при прохождении её через систему, фазочастотная характеристика (ФЧХ) – изменение фазы гармоники.
• При известном  дифференциальном уравнении системы её ЧХ может быть найдена  выполнением  преобразования Фурье над уравнением.
• ЧХ системы (устройства) может быть определена экспериментально подачей на вход  гармонического сигнала определенной частоты и измерения отношения амплитуд (АЧХ) и разности фаз (ФЧХ) выходной и входной гармоники.

Связь выход – вход линейной системы для гармонического входного сигнала  в установившемся режиме    .