Преобразование   Фурье

            Частотные спектры периодических сигналов базируются на рядах Фурье.

Спектральное (частотное) представление непериодических непрерывных по времени сигналов основывается на использовании преобразования Фурье, которое можно получить из ряда Фурье путем предельного перехода при Т ® ¥. Выполним такой переход.

Пусть сигнал x(t) определен на интервале [-T/2,  T/2]. Продолжим эту функцию
с периодом Т, при этом получим периодический сигнал  x_T(t). Графики:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим  периодический сигнал  в виде ряда Фурье (комплексная форма)

Обозначим   ,  при этом выразим коэффициент как .

На интервале в один период   -T/2 <t <T/2  сигналы x_T(t)   и x(t) совпадают, поэтому

.

            Если  ,  то  , и в результате  предельного перехода из предыдущих выражений  мы получаем пару преобразований Фурье

 

 - прямое преобразование Фурье,  выражение анализа сигнала,

 

 - обратное преобразование Фурье,  выражение синтеза сигнала.

Функцию X(jω) называют спектральной плотностью  или спектральной функцией сигнала x(t). Спектральная плотность в общем случае является комплексной функцией действительного аргумента ω, так как .

 

В теории сигналов и систем эти преобразования называют также непрерывно – временными  преобразованиями Фурье, сокращенно НВПФ (англ. Continue Time Fourier Transform –CTFT), поскольку они относятся к непрерывным  во времени сигналам.

Связь между x(t)   и  X(jω)  через преобразования Фурье может быть представлена в символической форме

                                                           ,

которая означает, что они являются преобразованиями Фурье друг друга. .  Во многих источниках вместо X(jω)  используется обозначение X(ω), без символа j.  Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу x(t), заданному во временной области, функцию спектральной плотности  X(jω) в частотной области

Как и ряд Фурье, обратное преобразование Фурье дает сигнал x(t)  в точках непрерывности и среднее значение в точках разрыва сигнала. В точках разрыва сходимость сопровождается явлением Гиббса.

            Во многих практических задачах, связанных с преобразованием Фурье, удобно использовать не угловую частоту ω, выражаемую в радианах в секунду, а частоту в герцах . При этом преобразования Фурье приобретают вид

               В этих выражениях уже нет множителя 1/2π.

Следует отметить, что преобразование  Фурье не ограничиваются функциями времени. Они широко используются для функций пространственной переменной  x. В этом случае частотная область  получает смысл пространственных частот. Использование пространственных частот характерно для сигналов типа изображений (фотографий).

 

Какие сигналы x(t)  имеют преобразование Фурье, т.е. для каких сигналов оно сходится?   В математическом анализе доказывается, что сигналы  должны

·      либо  иметь конечную энергию, т.е. ,

·      либо  удовлетворять условиям Дирихле, т.е. быть абсолютно интегрируемыми , иметь конечное число минимумов и максимумов и конечное число разрывов первого рода   на каждом конечном интервале.

Амплитудный и фазовый спектры  непериодического сигнала

Обратимся к выражению обратного преобразования Фурье и запишем его приближенно  

- интегральная сумма.

Этот интеграл физически можно интерпретировать как разложение сигнала x(t) в виде бесконечной суммы комплексных гармоник    с бесконечно малыми комплексными амплитудами вида  X(f_k)Δf.  Элементарной частотной составляющей сигнала здесь выступает не отдельная гармоника, как у периодического сигнала, а приращение  , где d f - бесконечно малое приращение частоты. При этом произведение  X(f)df – бесконечно малая комплексная амплитуда комплексной  гармоники .   Обозначим  dX = X(f)df,  тогда  . Чаще всего, но не всегда, размерность . Следовательно,  X(f) имеет смысл плотности комплексных (имеющих модуль и фазу)  амплитуд гармоник, приходящихся на единичный интервал частот вблизи рассматриваемой частоты f. Этим и объясняется название  X(f) или  X(jω)– спектральная плотность (функция) сигнала. Эта функция по своему физическому смыслу аналогична понятию плотности массы или плотности вероятности.

 

В общем случае X(f) является комплексной функцией действительного аргумента f (частоты), т.к.        

Её можно представить в виде модуля и аргумента (фазы)

 - это амплитудный спектр непериодического сигнала x(t),

 - фазовый спектр непериодического сигнала.

Выражение спектральной плотности с помощью формулы Эйлера можно записать в виде

,  где   -  четная функция частоты  f,         - нечетная функция f.

Отсюда  амплитудный спектр   - четная функция частоты, т.е.  .

Фазовый спектр   - нечетная функция частоты f,

.

Следовательно, достаточно вычислять спектры только для положительных частот.

 

Общий вид амплитудного и фазового спектров. При этом амплитудный спектр -  четная функция частоты, а фазовый  - нечетная. Их главное внешнее отличие от поведения спектров периодических сигналов заключается в том, что огни являются сплошными в отличие от линейчатых спектров периодических сигналов.

В связи с симметрией обычно изображают спектры только для положительных частот.

Выразим вклад диапазона частот   в сигнал  x(t)

.

Отсюда вклад элементарного диапазона  частот   в сигнал x(t)

Таким образом, вклад элементарного диапазона  частот  в сигнал пропорционален значению модуля спектральной плотности на частоте f. Отсюда и происходит название .

Фаза   выражает угловой (временной) сдвиг гармоники на частоте  f  при t = 0.

Сигналы, спектр которых (полоса частот) включает начало координат (нулевую частоту), называют низкочастотными. Узкополосным (полосовым) называют сигнал, спектр которого концентрируется около некоторой частоты, удаленной от начала координат. Сигналы реального мира в большинстве случаев являются низкочастотными, узкополосные сигналы используются в системах  связи.

 

Примеры определения спектров

 

            1.   Экспоненциальный сигнал
               u(t) -  единичная ступенчатая функция.

 

 

Амплитудный спектр .

Для  

Фазовый спектр .     Графики спектров  для  a =1

 

2.      Прямоугольный импульс,  длительность                         

        Преобразование Фурье (комплексный спектр)

действительная функция ω. Амплитудный спектр  .  Фаза 

 График для  Т₁ = 0.5

 

Для  T₁=1/2  x(t)=rect(t) - симметричный относительно начала координат прямоугольный импульс единичной длительности и амплитуды, его спектр

 

.     Первый нуль спектра – при ,

 если   длительность импульса  2T₁ ® 0,  то ω₁ ® ∞, т.е. чем уже импульс, тем шире спектр.

 

3.    Дельта – функция (единичная импульсная функция)   .

Преобразование Фурье  δ- функции ,  значит, такой сигнал

имеет постоянный (бесконечно широкий)  спектр при любой частоте ω. 

Следовательно, согласно обратному НВПФ   δ – функция      может быть синтезирована из бесконечного множества гармоник вида  .

 - это δ- функция, сдвинутая на τ во времени.   Её  спектральная плотность

. 

Графики  амплитудного и фазового спектров

 

 

 

 

 

У смещенной δ – функции – линейный фазовый спектр

                        Теорема   Парсеваля для непериодических сигналов

Энергия непериодического сигнала

.

Выразим сигнал через преобразование Фурье, тогда

Функция  имеет смысл спектральной плотности энергии или энергетического спектра сигнала x(t). Она характеризует  распределение энергии сигнала по частоте. Поскольку  амплитудный спектр – четная функция частоты, то можно интегрировать по положительным значениям частоты, удвоив значение интеграла, т.е.

.

Связь  спектров непериодического  и периодического сигналов

 

Найдем связь между спектром непериодического сигнала и периодической последовательности  с периодом Т таких сигналов. Для этого сравним выражения прямого преобразования Фурье и коэффициентов комплексной  формы ряда Фурье

,                                                                                                     (1)

Для  частоты  ω_k     .

Из выражения  (1) на интервале аргумента      , 

 Отсюда       или  .

            Следовательно, совокупность точек  TX_k  дискретного спектра периодического сигнала лежит на кривой сплошного спектра непериодического сигнала.  Графическое пояснение

 

 

Здесь период прямоугольной волны  Т = 5, длительность импульса   τ =2,  амплитуда   U = 1.

При увеличении периода Т спектр становится более частым.

 

Заключение

1.      Для непериодических сигналов непрерывного времени спектральный анализ основан на выражениях   преобразования Фурье  (НВПФ)

 - прямое преобразование Фурье,  выражение анализа сигнала,

       - обратное преобразование Фурье,  выражение синтеза сигнала.

      Нотация:       
   2.  Спектральная функция сигнала  X(jω) имеет смысл плотности комплексных (имеющих модуль и фазу)  амплитуд гармоник, приходящихся на единичный интервал частот вблизи рассматриваемой частоты  ω.

3.  Амплитудный спектр непериодического сигнала – это зависимость модуля спектральной  плотности сигнала от частоты,   т.е.  
   Фазовый спектр - это зависимость аргумента (фазы)  спектральной  плотности сигнала от частоты, т.е.  .
   Эти спектры полностью описывают сигнал в частотной области.
4. Энергия непериодического сигнала может быть определена в частотной области с помощью теоремы Парсеваля