Теорема   отсчетов

Теорема отсчетов является центральной темой дискретизации сигналов. Дискретизация – это получение отсчетов (sampling) сигнала. При произвольной частоте отсчетов дискретизация является неоднозначным процессом.  Из нижеследующей иллюстрации очевидно следует, что одной и той же последовательности отсчетов может соответствовать бесчисленное множество функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как часто, с какой частотой F_S  следует брать отсчеты, чтобы не допустить потери информации в сигнале?  Ответ на этот вопрос дает теорема отсчетов. Чтобы её сформулировать рассмотрим более подробно процесс дискретизации в частотной области.

Как показано  в предыдущей лекции, спектр дискретного сигнала  при частоте отсчетов   имеет вид   ,

здесь - спектр аналогового сигнала (до дискретизации).

Т.о., спектр дискретного сигнала  X_p(jω) – периодический с периодом .

 

 

 

 

 

 

            Будем рассматривать аналоговый сигнал x_a(t) с ограниченной полосой частот (ограниченным или финитным спектром), при этом   ω_m – верхняя граничная частота  спектра сигнала. Такой сигнал называют частотно – ограниченным,  англ. bandlimited signal.   При дискретизации таких сигналов возможны два случая.

1.  Частота отсчетов , при этом  поведение спектров  имеет следующий вид

   

 

 

В этом случае при дискретизации не происходит наложение спектров. Поэтому если после дискретизации пропустить сигнал через фильтр нижних частот  с усилением Т  и частотой среза   ,  то возможно восстановление исходного аналогового сигнала. Выходной сигнал  фильтра 

2.    Частота отсчетов , при этом происходит наложение (aliasing) повторяющихся спектров. Спектр дискретного сигнала имеет следующий характер

При дискретизации с частотой    спектр аналогового сигнала X_a(jω) не может быть точно восстановлен пропусканием его через ФНЧ из-за наложения репликаций (повторений)  соседних спектров. Происходит наложение (aliasing) соседних копий спектра на основную полосу частот сигнала. Таким образом,  мы обосновали основной   результат в  дискретизации сигналов – теорему отсчетов.

Т.о., частота отсчетов должна быть не меньше, чем  2f_m.  то есть при соблюдении условий теоремы отсчетов по дискретному сигналу можно восстановить исходный сигнал с финитным спектром без искажений. Ограничение теоремы имеет смысл неравенства. Минимальная частота отсчетов – это 2f_m.  На  практике обычно используют  ,  в зависимости от требуемой точности восстановления сигнала. Например, клиническая ЭКГ имеет полосу частот 0,05 – 100 Гц,  и  обычно используется  частота дискретизации  500 Гц.

Теорему отсчетов называют также теоремой Найквиста, теоремой Шеннона, теоремой Котельникова.  Результат получен  независимо этими тремя авторами в конце 20-х и в  начале тридцатых  годов  ХХ века.

Частота  [рад/с] или  F_S [Гц] - это частота (скорость) отсчетов.   Частота   или  называется  частотой Найквиста  (частотой Котельникова)  или частотой свертывания    (folding frequency).   При определенной частоте отсчетов  F_S  она определяет максимальную граничную частоту сигнала  f_m  .  Необходимое    условие  дискретизации  .

 

Наложение (алиасинг, англ. aliasing)  гармоник  при дискретизации сигналов

Рассмотрим вновь связь аналоговой синусоиды  и дискретной

 Здесь  f –частота аналоговой гармоники,  – дискретная частота гармоники, F_S – частота отсчетов, Т -  интервал отсчетов.   Для дискретной синусоиды  частота   - это нормализованная частота, т.е. частота аналогового сигнала, деленная на частоту отсчетов  F_S,    - угловая (круговая) нормализованная частота.

При одинаковых значениях   f /  F_S получаем одно и то же значение  x[n].

По теореме отсчетов  необходимо, чтобы   или   . Таким образом, при частоте отсчетов  F_s  максимально возможная частота синусоиды  .  Если это условие не выполняется, то возникает алиасинг (наложение гармоник).

Например, если частота отсчетов  F_s = 40 Гц   и  частота одной гармоники  f₁ = 10 Гц, а другой  f₂ = 50 Гц, то  . 

Представим эти дискретные гармоники  при дискретизации с частотой 40 Гц

 

Отсюда видно, что , т.е. при такой частоте дискретизации гармоники с частотами 10 Гц и 50 Гц не различимы.  Произошло  наложение (aliasing) гармоник.  Демонстрация  примера  в Matlab:

f=40;     t=0:1/f:0.2;    x1=cos(2*pi*10*t);  x2=cos(2*pi*50*t);  plot(t,x1,'ro',t,x2)

t1=0:0.001:0.2;     hold on    x3=cos(2*pi*10*t1);   x4=cos(2*pi*50*t1);  plot(t1,x3,t1,x4)

legend('x1', 'x2', 'x3', 'x4')

Сигналы x1, x2 дискретизированы с частотой   f  = 40 Гц,  сигналы  x3, x4 – с частотой  1000 Гц.  

Частота  Найквиста  ,  называемая также частотой свертывания (folding frequency), является также частотой,  относительно которой происходит свертывание  по частоте гармоник более высоких частот.

 

Диаграмма, поясняющая   свертывание гармоник 

  Все гармоники с частотами  в результате  дискретизации   налагаются друг на друга (подменяют друг друга). Например, для вышеприведенного примера гармоники с частотой f₁= 10 Гц   и   f₂=10+1* 40 = 50 Гц при  дискретизации с частотой 40 Гц неразличимы.  Частоты  могут образовывать  ложные частотные компоненты.

Другой пример алиасинга.  Гармоника с частотой 10+1*44,1=54,1 кГц  для уха человека – неслышимая. Но помеха с такой частотой, появившаяся от внешнего источника, например, искрящего контактного провода или атмосферного разряда, при дискретизации с частотой 44,1 кГц будет трансформирована в слышимую частоту 10 кГц  (10+1*44,1=54,1), если  аналоговый сигнал до АЦП предварительно не отфильтрован.

Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные  составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени сопровождается  его искажением. В частности, при съемке камерой быстро вращающихся объектов алиасинг может привести к эффекту,  когда изображение  объекта замедляет вращение или вращается в обратную сторону.

Диаграмма, поясняющая   свертывание гармоник 

Частота   -  это частота  Найквиста.  Можно представлять, что ось частот f   над интервалом  0 – FN сложена гармошкой  отрезками  по FN Гц. Поэтому частота Найквиста называется также частотой свертывания.

  Все гармоники с частотами  в результате  дискретизации   налагаются друг на друга (подменяют друг друга). Например, для вышеприведенного примера гармоники с частотой f₁= 10 Гц   и   f₂=10+1* 40 = 50 Гц при  дискретизации с частотой 40 Гц неразличимы.  Частоты  могут образовывать  ложные частотные компоненты.

Другой пример алиасинга.  Гармоника с частотой 10+1*44,1=54,1 кГц  для уха человека – неслышимая. Но помеха с такой частотой, появившаяся от внешнего источника, например, искрящего контактного провода или атмосферного разряда, при дискретизации с частотой 44,1 кГц будет трансформирована в слышимую частоту 10 кГц  (10+1*44,1=54,1), если  аналоговый сигнал до АЦП предварительно не отфильтрован.

Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные  составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени сопровождается  его искажением. В частности, при съемке камерой быстро вращающихся объектов алиасинг может привести к эффекту,  когда изображение  объекта замедляет вращение или вращается в обратную сторону.

Фильтры защиты от наложений  спектров

            Из соотношения неопределенности для сигналов 

следует, что сигналы конечной длительности теоретически не могут иметь конечную ширину спектра, поскольку  ширина полосы сигнала . Поэтому при дискретизации реальных сигналов конечной  длительности  всегда происходит  наложение спектров.   Вид спектра после дискретизации для аналоговых сигналов с неограниченным спектром.  «Хвосты»  спектров продолжаются по всей оси частот  .

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что  в большей или меньшей мере возникает наложение спектров.  В результате искажается спектр основной полосы сигнала, а значит, и сам сигнал.  Для устранения или по крайней мере для  значительного уменьшения влияния наложения спектров при аналого – цифровом преобразовании  (АЦП) сигналов используют фильтры защиты от наложений спектров.   Их называют также предфильтрами или антиалиасинговыми  фильтрами (antialising filter).   Такой фильтр должен резко ослаблять частотные составляющие спектра сигнала  с частотами выше  частоты Найквиста .

                       

 

 

 

 

 

 

 

                       

Фильтр защиты от наложений должен подавлять составляющие частотного спектра сигнала на частотах, превышающих частоту Найквиста до уровня, меньшего, чем  погрешность (шум) квантования,

Отсюда минимальное ослабление фильтра на частоте Найквиста должно быть не менее   дБ.  Здесь В – число бит АЦП,   2^В  - число уровней квантования.

Например, для 10-битового АЦП    дБ, для 16 –битового  АЦП  дБ.

В относительных единицах 60 дБ составляет , а  90 дБ  -  .  Т.е. коэффициент передачи фильтра в полосе задерживания должен быть более чем в 30000 раз меньше, чем в полосе пропускания.

Таким образом, к низкочастотным фильтрам защиты от наложений спектров предъявляются высокие требования по необходимому ослаблению в переходной полосе и полосе задерживания, а также ширины переходной полосы.  Такие аналоговые фильтры являются достаточно сложными и дорогими и удорожают стоимость аппаратуры. Альтернатива: увеличение  частоты отсчетов  F_S значительно выше  2f_m (oversampling).

           

 

 

 

 

Дискретизация речевых,  аудио и видеосигналов

            Рассмотрим вытекающие из теоремы отсчетов требования к дискретизации речевых, аудио-  и видеосигналов.

Ухо человека слышит в диапазоне частот 16…20000 Гц. Некоторые животные, например, собаки,  могут слышать более высокие частоты. При этом интенсивность акустической волны воспринимается ухом логарифмически, т.е. ощущение в два раза громче означает  двукратное увеличение  логарифма отношения амплитуд звукового сигнала, а не просто отношения амплитуд.  Поэтому сила звука измеряется в логарифмах отношения амплитуд, чаще всего в децибелах  (1 дБ равен 0,1 Бел)

 .

Нижний предел слышимости звукового давления (порог слышимости) для человека составляет 3*10^-5 Па (около 0,0003 дин/см²).  Если этот уровень принять за 0 дБ (т.е. отношение ), то громкость обычного разговора составляет 50 дБ,  болевой предел для слуха  составляет около 120 дБ, что соответствует отношению амплитуд .   Т.е., диапазон воспринимаемых ухом человека отношений звукового давления составляет 10⁶!

  Примером оцифрованного звука является сигналы цифровой телефонной связи. Телефонный сигнал имеет частотный диапазон 300…3400 Гц. Составляющие сигнала с частотами выше 3400 Гц  подавляются перед АЦП с помощью предфильтра.

Поэтому для телефонной связи достаточна  частота отсчетов 8 кГц. Обычно  используются 8-битовые АЦП.  Скорость передачи данных  равна  8*8000=64 Кбит/с.

             При записи аудиокомпакт – дисков звуковой сигнал оцифровывается с частотой дискретизации 44,1 кГц. Поэтому в соответствии с теоремой отсчетов такие сигналы имеют частоту Найквиста 22,05 кГц, и верхняя граничная частота звукового сигнала составляет 22 кГц. Используются 16-битовые АЦП (CD-стандарт), поэтому пропускная способность составляет 16*44100=705,6 кбит/с для монофонического сигнала и 1,411 Мбит/с для стереофонического.  Это в 22 раза выше скорости  передачи телефонных сообщений.        Емкость стандартного CD- диска составляет :

2*44100*16*60*70 /8 /1024^2= 706.5582≈700 Мбайт. Пояснение: 2-х  канальный  стереозвук, частота дискретизации 44,1КГц, 16 бит/канал,   70 мин. звучания.

В цифровом радиовещании частота дискретизации составляет 22050 Гц. В стандарте цифровой аудиозаписи DAT используется частота дискретизации  48 000 Гц, в стандарте  DVD-Audio (MLP 5.1)   - 96 000 Гц, в стандарте  DVD-Audio (MLP 2.0) —192 000 Гц. 

Для уменьшения потока информации в бит/с  при записи звука применяют  алгоритм сжатия с потерями МР3.  При сжатии с потерями  часть звуковой информации (потока) теряется и не может быть восстановлена.  Принцип сжатия заключается в разделении звукового файла с помощью полосовых фильтров на отдельные частотные диапазоны, далее определяется мощности отдельных частотных составляющих сигнала и часть сигнала с мощностью ниже порога слышимости отбрасывается.  Оставшаяся часть подвергается  квантованию по уровню и кодируется кодом Хаффмана.

 Стандарт МР3  позволяет сжимать оцифрованный звуковой сигнал примерно в 5 – 20  раз.  Степень сжатия при записи звука по стандарту МР3 можно варьировать, выбирая значения так называемого «битрейта» из интервала   8 - 320 кбит/с. Битрейт означает количество передаваемой за единицу времени информации. Чем выше значение битрейта, тем выше качество звука, но тем меньше сжатие данных.

           

О частоте дискретизации (оцифровки) видеосигналов. Сетчатка глаза человека обладает инерционностью, поэтому изображение, появившееся на сетчатке, остается на ней на 2-3 миллисекунды до исчезновения. Если последовательность одинаковых или близких по содержанию изображений появляется и исчезает с достаточно высокой частотой, то глаз человека не замечает мелькания  изображения. Частота, при которой глаз человека перестает замечать мигание яркости, т.е. смену изображений, составляет около 50 Гц.

Все видеосистемы (кино и телевидение) используют инерционность зрения  для создания двигающихся изображений, т.е. формирования  изменяющихся (двигающихся) изображений из дискретных кадров.  В  разных странах используются различные стандарты разбиения двумерного изображения на элементы. В Северной и Южной Америке и Японии принят стандарт NTSC.  В телевидении стандартной четкости  экран разбивается на 525 горизонтальных линий развертки,  частота кадров – 30 кадров в сек.   Современные стандарты телевидения высокой четкости (ТВЧ)  предусматривают количество строк 720 и 1080с частотой кадров 50 или 60 кадров/с, что обеспечивает высокое качество изображения.  

В Европе и в России в телевидении стандартной четкости  принята система PAL/SECAM  c 625 строками и 25 кадрами в секунду.  Многие люди при частоте 25 кадров в секунду замечают мигание изображений, поэтому для улучшения качества изображений используется чересстрочная развертка, при которой в одном  кадре линии развертки на экране телевизора показываются через одну: сначала все нечетные, а потом все четные. За счет чересстрочной развертки получается скорость кадров  50 кадров/сек., при которой мерцание кадров становится незаметным.

Оценим полосу частот для передачи черно-белого телевизионного сигнала для стандарта PAL/SECAM. Общее число градаций яркости видеосигнала за секунду  составляет в этом случае   N =  625 *650*25=10156250 бит/с,  при этом 650 – это число элементов изображения (пикселов) в строке.  По теореме должно удовлетворяться условие  , и верхняя граничная  частота  видеосигнала  ≈ 5,1 МГц.

             

 

Различные стандарты телевизионного вещания обычной (стандартной) четкости используют несколько разные полосы частот сигнала  в диапазоне от 5 до 6  МГц. Такая полоса  примерно в 150  раз выше, чем при оцифровке звука.

В цифровом цветном телевидении кадр экрана состоит из прямоугольной сетки элементов – пикселов.  Каждый из трех RGB- цветов кодируется 8-ю битами, что в сумме дает 24 бита на пиксел. Это обеспечивает 2²⁴ ≈ 16 млн. цветовых градаций, которых более чем достаточно для человеческого глаза с его возможностями различать цвета.

Оценим пропускную способность в бит/с, необходимую для передачи цветного цифрового видеосигнала.  При разрешении  1024*768 пикселов (XGA стандарт), 24 – битах на пиксел  и 25 кадрах  в секунду необходима скорость передачи данных  1024*768*24*25 = 471859200 Гц ≈ 472 Мбит/с. За одну минуту при этом будет передано ≈ 3,5 Гбайт., за 1 час -210 Гбайт. Для стандартов цифрового телевидения высокой четкости (HDTV) необходимая скорость передачи ещё в несколько раз выше.

Без использования специальных  алгоритмов сжатия передавать такой поток  информации становится технически сложно и дорого. Поэтому разработано и используется ряд алгоритмов сжатия видеоинформации, например, алгоритм сжатия MPEG -4.  Алгоритмы сжатия  построены  на использовании  пространственной и временной избыточности видеосигналов.  Для таких систем требуется два устройства: одно для сжатия (компрессии) данных на стороне источника информации (кодирование, кодек), другой – для декомпрессии  у получателя (декодирование, декодер). Операции кодирования/декодирования производятся в реальном времени.

Сжатие видео на порядки снижает требования к ширине полосы  канала передачи, при этом качество изображения остаётся приемлемым.

 

Заключение

§  При дискретизации сигналов, и, следовательно, в цифровой обработке аналоговых сигналов  важнейшую  роль играет теорема отсчетов.
 Теорема утверждает,  что частотно – ограниченный сигнал x(t) со спектром   для  однозначно определяется своими отсчетами  x(nT),   если угловая частота отсчетов .

§  Частотно – ограниченный сигнал может быть дискретизирован без потери информации.

§  Если частота отсчетов  , то происходит наложение спектров дискретного сигнала и искажение сигнала при его восстановлении по отсчетам. Для гармонических сигналов при этом возникает подмена (наложение, алиасинг, aliasing) частот гармоник.

§  Для устранения наложения спектров реальные  аналоговые сигналы перед аналого-цифровым преобразованием подвергаются низкочастотной фильтрации, чтобы   удалить   (уменьшить до допустимого уровня))  частотные компоненты  сигнала с частотами выше .