Цифровая обработка аналоговых  сигналов (общие  сведения)

            Большая часть сигналов реального мира (real – world signals), таких как аудио, видеосигналы, биомедицинские сигналы, сигналы датчиков температуры, давления, расхода и др. являются аналоговыми, т.е.  непрерывными по аргументу и по значению (уровню) сигналами. Но многие, если не большинство  из систем обработки сигналов  по мере своего развития и совершенствования трансформировались в системы с цифровой обработкой (ЦОС).

Блок – схема  систем ЦОС:

 Входной и выходной сигналы – аналоговые,  обработке подвергается цифровой сигнал.  Обработку выполняет процессор.  Примером устройства ЦОС является широко распространенная система воспроизведения звука персонального компьютера, состоящая из звуковой карты и звуковых колонок. При записи звуковой сигнал  с микрофона или от другого источника поступает на вход звуковой карты, с помощью АЦП  преобразуется из аналогового вида в цифровой (оцифровывается) и записывается на диск в виде звукового файла (WAV- файла). При воспроизведении производится обратное преобразование цифрового  сигнала в аналоговый с помощью ЦАП.   В современных ПК звуковая карта  интегрирована в  аудиопроцессор на материнской плате. Аудиопроцессор  – это БИС, включающая АЦП, ЦАП и др. элементы канала звука. При этом возможна  и  установка внешней карты в разъем системной шины. 

Предфильтр (фильтр защиты от наложения спектров, англ. antialiasing filter)  - это фильтр нижних частот (ФНЧ), предназначенный  для удаления частотных  составляющих входного сигнала с частотами , где  F_s = 1/T_s  - частота или скорость отсчетов (англ. sample – отсчет)   аналого – цифрового преобразователя.

Аналого - цифровой преобразователь (АЦП) – интерфейс между аналоговой формой сигнала и цифровой.  Это устройство, преобразующее аналоговый сигнал в цифровой, т.е. выполняющее оцифровку сигнала.   Цифровой процессор это  либо универсальный цифровой процессор (ЦП), либо сигнальный цифровой процессор (ЦСП, англ. – DSP), либо специальное цифровое устройство.

 

Цифро – аналоговый преобразователь  (ЦАП)  выполняет обратное преобразование цифрового сигнала в аналоговый (т.е. реализует цифро –  аналоговый интерфейс).   Сглаживающий фильтр предназначен для сглаживания выходного сигнала ЦАП, т.е. удаления высокочастотных составляющих выхода ЦАП.

Преимущества систем ЦОС:

1)      Значительно более высокая точность и стабильность результатов, чем в аналоговых системах.

2)      Значительно меньшее по сравнению с аналоговыми системами влияние шумов, помех и окружающих условий.

3)      Возможности обеспечения сложных и разнообразных алгоритмов обработки сигналов.

Недостатки: более влияние конечной разрядности,  , меньшее быстродействие,  более высокая стоимость и др.

Области применения ЦОС:

§  Видеосистемы и обработка изображений,

§  Аудиосистемы,

§  Цифровое телевидение,

§  Телекоммуникации, в том числе цифровая мобильная связь,

§  Биомедицина (ЭКГ,  ЭЭГ, томография, цифровая рентгенография и др.)

§     Системы военного и специального назначения:  системы навигации, мониторинга,  радары, сонары, бортовые системы, системы наведения и др.

Аналого – цифровое преобразование  сигналов

Компьютеры и цифровые устройства могут обрабатывать только дискретные по времени и уровню сигналы, которые называют цифровыми.  Для преобразования  аналоговых сигналов в цифровые используются специальные устройства – аналого – цифровые преобразователи (АЦП), англ. analog   to digital conversion (ADC или AD).  Аналого – цифровое преобразование  (также популярен термин оцифровка сигнала) включает операции дискретизации по времени, квантования по уровню и кодирования значений входного сигнала (см. рис.).  

 

§    Операция дискретизации по времени обеспечивает получение значений (отсчетов) непрерывного по времени сигнала x(t) в дискретные моменты времени. Эту операцию называют  также операцией выборки и хранения (англ. hold  and sampling).
   Дискретный сигнал математически представляется как последовательность или решетчатая функция  x(nT_S)  или x[n],  n=0, ±1,±2,... Значения дискретного сигнала определены только  при определенных значениях независимой переменной. Ниже на рис. приведены изображения аналогового сигнала    и соответствующего дискретного сигнала .

Совершенно очевидно, что интервал отсчетов T_S  при дискретизации сигналов не может быть произвольным. При низкой частоте отсчетов F_S =1/ T_S  невозможно представить аналоговый сигнал совокупностью отсчетов.  Возникает вопрос: какой интервал отсчетов достаточен?  Ответ на этот важный вопрос дается теоремой отсчетов, рассматриваемой в следующей лекции.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§Квантование  по уровню (quantisation) – это преобразование дискретного  по аргументу  сигнала в в цифровой сигнал с конечным числом разрядов  . Другое название – дискретизация по значению.
Эта операция аналогична операции округления чисел с некоторыми отличиями. В результате этой операции значение (амплитуда)  сигнала квантуется (округляется) в один из N =  уровней, где В – число двоичных разрядов (битов) АЦП.
 

§Кодирование (coding)  – представление дискретного по времени и квантованного по уровню сигнала в виде кода, обычно, двоичного, например, 5₁₀ = 101₂.  Самые распространенные форматы кодов – двоичные коды (прямой, обратный, дополнительный) с фиксированной и плавающей запятой.

 

В задачах обработки сигналов используются АЦП следующих типов:

§ АЦП последовательного приближения с частотой дискретизации  = 1/T_S  до единиц МГц,

§ Сигма – дельта АЦП  ()  с частотой дискретизации до 100 кГц.  Такие АЦП, в частности, применяют в обработке аудио и речевых сигналов,

§ Параллельные АЦП – это самые быстрые АЦП с частотой дискретизации до 1 ГГц (до 10⁹  преобразований (отсчетов) в сек!), используются при обработке изображений. Но они и самые дорогие из всех разновидностей  АЦП.

     В других приложениях, например,  в цифровых мультиметрах, цифровых термометрах, цифровых тонометрах,  преобразователях угла поворота   применяются другие типы АЦП.

     Устройство, схемы  и характеристики АЦП рассматриваются в курсах схемотехники.

В данном курсе рассматриваются математические модели дискретизации сигналов и некоторые другие характеристики преобразования, важные для обработки сигналов.

 

Математическая модель дискретизации сигналов во временной области

            Процесс получения  отсчетов (sampling) или дискретизации сигнала можно рассматривать как умножение сигнала аналогового  сигнала  x_a(t) на периодическую последовательность p(t) тактовых импульсов единичной амплитуды и длительностью  τ, много меньшей периода отсчетов  T_S =T= 1 / F_s.  Умножение двух сигналов – это модуляция одного сигнала другим. Поэтому процесс дискретизации можно рассматривать как амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ).

 

 

 

Отсчеты аналогового сигнала в равноотстоящие моменты времени  t = nT   образуют последовательность x[n] = x_a(nT).    

Поскольку   τ<<T, то в идеальной модели дискретизации импульсная последовательность  p(t)  представляется как периодическая последовательность  δ – функций.

 

     

Процесс получения отсчетов (sampling) – это умножение непрерывного сигнала  x_a(t) на периодическую последовательность  импульсов (periodic impulse train)  p(t).  Происходит  изменение амплитуды последовательности p(t) по закону аналогового сигнала , т.е.   амплитудно – импульсная модуляция   (АИМ)  последовательности.

Результирующая последовательность  x_p(t)  представляет собой периодическую с периодом   T последовательность δ – функций с площадями, равными значениям  x_a(nT):

 

Полученное выше выражение позволяет выразить дискретный сигнал через       δ – функции как функцию непрерывного времени t.

Реальный дискретный сигнал отличается от идеального хотя и малой, но конечной длительностью каждого отсчета. Это связано с конечным быстродействием устройства выборки  и хранения (УВХ) АЦП.  Для получения такого сигнала идеальный дискретный сигнал x_p(t) свертывается (операция свертки!) с реальным тактовым импульсом  r(t)

В результате свертки реальный (не идеальный) дискретный сигнал во временной области имеет вид

При этом r(t) – форма сигнала несущей импульсной последовательности.

 Результат – последовательность отсчетов – импульсов   с конечной длительностью.

Модель дискретизации сигнала в частотной области

            Рассмотрим теперь  процедуру дискретизации сигнала аналогового сигнала  x_a(t) в частотной области.    Целью рассмотрения является получение спектра (преобразования Фурье) дискретного по времени сигнала.  В результате достигается более детальное понимание процедуры дискретизации.

Периодическую последовательность δ – функций (дельта - импульсов)

можно разложить в ряд Фурье

.

Коэффициенты такого ряда

Пояснение:  интервал  (-Т/2,  Т/2)  охватывает   только при  n = 0.     Следовательно,  ряд Фурье последовательности  p(t)   

 

Выражение для   x_p(t) с  учетом полученного разложения в ряд Фурье  

     .                      

Преобразование Фурье (спектральная плотность) сигнала  x_p(t)

Отсюда спектральная плотность  (НВПФ)  дискретного сигнала  x_p(t)

 

                          (*)

Здесь    _-   угловая   частота  дискретизации,    - частота дискретизации  в Гц.

Из  полученного выражения  (*) следует, что спектр дискретного сигнала, являющегося   отсчетами  непрерывного сигнала, является периодическим.  Он состоит из сдвинутых на  ω_S = 2π/T копий спектров  исходного непрерывного сигнала, умноженных на  константу  1/T.   

Член  (*) с k = 0 называется составляющей спектра с основной полосой частот.  Компоненты спектра с центрами, кратными , т.е.  называют зеркальными полосами (частотами).

_{Спектр   аналогового сигнала}

           

 

 

  Из полученной формулы и её графического смысла следует, что для правильной дискретизации  необходимо определенное соотношение между граничной частотой спектра аналогового сигнала и частотой дискретизации.

Например,  спектр речевого сигнала в телефонной связи имеет полосу частот шириной 300…3400  Гц.   Поэтому в  цифровой телефонии  производится дискретизация речевого сигнала с частотой 8 кГц.  При этом спектр становится периодическим c периодом  f_S = 8 кГц или    рад/с.

Квантование по уровню

В дискретных системах отсчеты сигналов и параметры системы (коэффициенты) представляются с неограниченной точностью. Коэффициенты и отсчеты сигналов реальной системы  ЦОС представляются с ограниченной точностью (ограниченной разрядностью). Такая система является цифровой, а обрабатываемые сигналы – цифровыми.

Преобразование непрерывного по уровню сигнала в цифровой  - это операция    квантования  (quantization). Термин "квантование" происходит от латинского слова "quantum", что означает "сколько".  Квантование – это преобразование непрерывного по уровню сигнала в цифровой сигнал с конечным количеством  числовых разрядов.

Вид характеристики равномерного (однородного)  квантователя  по уровню.  

                                  

Для двуполярного  сигнала в диапазоне  шаг квантования и амплитуда сигнала  V_max  связаны выражением   или , q  - шаг квантования.

 

Разность между выходным сигналом  квантователя и аналоговым входным сигналом  представляет собой неустранимую погрешность (ошибку, шум) квантования по уровню

                       .

При квантовании округлением   ошибка   (см. рис. выше).

 Максимальное значение погрешности квантования равно  . 

Кроме квантования округлением (rounding) применяется  также квантование усечением (truncation). Оно более простое. Ненужные разряды (цифры) при этом просто отбрасываются,  но  максимальная погрешность квантования удваивается, , .
Пример в Matlab:       округление до 0,01,                     усечение до0,01      

     round(3.768*100)/100    floor(3.768*100)/100

  ans =                   ans =

                  3.7700                    3.7600

Различия  характеристик  квантования округлением и квантования усечением

Динамический диапазон АЦП– это отношение максимального уровня сигнала к минимальному, с которыми может работать АЦП. Обычно он выражается в децибелах через количество битов В преобразователя:  .

Например, для 16-разрядного АЦП с 32767 уровнями квантования  дБ.

Для синусоидального входного сигнала с амплитудой А размах сигнала равен 2A.          Размер (величина) шага квантования составляет .

Средняя мощность за период синусоидального сигнала  .

Мощность ошибки (погрешности)  квантования  по уровню .

Отсюда теоретический максимум отношения сигнал-шум в децибелах для синусоиды

,  т.е. ≈ 6 дБ на бит.

Видно, что с увеличением количества разрядов  АЦП  отношение сигнал-шум возрастает как  6 дБ на 1 бит АЦП.  16 – разрядный АЦП звуковой карты  теоретически обеспечивает SNR  96 дБ.

Обычно нет необходимости использовать АЦП, который обеспечивает шаг квантования меньше, чем шум (помехи, флуктуации)  полезного аналогового сигнала.  В таком случае повышение разрядности АЦП  лишь более точно оцифровывает шум, а не полезный сигнал.  В настоящее время  коммерческие  АЦП имеют  16 двоичных разрядов,  высококачественные и более дорогие  – до 24 разрядов и больше.  Диапазон входного аналогового напряжения  стандартных  АЦП обычно составляет от  -1 до +1 вольта.

            Кроме АЦП с равномерным квантованием в некоторых приложениях, например, в цифровой телефонии,  используют  преобразователи с неравномерным шагом квантования. В таких преобразователях при высоких уровнях входного сигнала шаг квантования  q  увеличивают, при малых уровнях – уменьшают. Для этого применяют специальные схемы сжатия (компрессии) сигнала перед  АЦП и растяжения (декомпрессии) перед ЦАП. Такой процесс сжатия и расширения сигнала называют компандированием.  В результате удается получать оцифрованный сигнал нужного качества при меньшей разрядности АЦП.

Квантование  сигналов  изображений

Поясним процедуру квантования сигналов применительно к представлению и обработке цифровых изображений.

Математически монохромное (черно – белое) двумерное изображение – это функция двух вещественных переменных f(x,,y), где  f - интенсивность или яркость изображения в точке (x, y).  Яркость есть отношение силы света к площади светящейся поверхности [кд/м²].  Реальные изображения  f(x, y) являются непрерывными функциями двух аргументов, т.е. непрерывным двумерным сигналом (функцией) в отличие от одномерного  типа   x(t). 

При обработке на компьютере изображение должно быть дискретизировано  и квантовано (оцифровано). Такое изображение называют цифровым. Если  ,  то математически  цифровое  изображение может быть представлено как матрица интенсивностей (яркостей), где элемент матрицы  называется  пикселом (pixel – picture element)

.

Главной характеристикой фотоматрицы является количество пикселов (мегапикселов). Чем оно больше, тем более качественным получается изображение при прочих равных условиях.    Для оцифровки  изображений используются аналогово-цифровые преобразователи (АЦП).   АЦП – элемент цифровой фотокамеры. Среди главных характеристик цифровой фотокамеры – количество  пикселов и число уровней яркости изображения.

  Для полутоновых изображений (gray scale, gray level) обычно используются  8 – битные  АЦП.  Они обеспечивают 256 уровней  изображения. Для цветных изображений, как правило,  используют 24 бит,  по 8 бит на каждый их трех цветовых каналов (красный R, зеленый G  и голубой B).  При глубине цвета 24 бит количество цветов 2²⁴ -  более 16 миллионов.  Это превышает способность глаза человека разрешать цвета.

 

Заключение

• В современных условиях  преобладает цифровая обработка аналоговых сигналов («цифровой мир»).  В таких системах реальные аналоговые сигналы с помощью  АЦП преобразовываются (оцифровываются) в цифровые. Далее с помощью разнообразных цифровых процессоров производится обработка сигналов.  Затем, как правило, производится обратное преобразование сигналов из цифровой формы в аналоговую с помощью ЦАП.
• Аналого – цифровое преобразование  (оцифровка сигнала) включает операции дискретизации по времени, квантования по уровню и кодирования значений входного сигнала.
• Квантование  по уровню – это преобразование непрерывного по уровню сигнала в цифровой сигнал с конечным числом разрядов.
• Математическая модель идеальной дискретизации сигналов сводится к процессу амплитудно – импульсной модуляции.  При этом аналоговый сигнал умножается на периодическую последовательность δ- функций:

§  Одна из главных особенностей дискретного по времени сигнала заключается в том, что его спектр (преобразование Фурье) по сравнению со спектром аналогового сигнала  является периодическим с периодом по частоте, равным   Герц или   рад/с: